ОГЭ, задание 20: неравенство с дробью

Что это за задание

Задание 20 — первое в части 2 ОГЭ по математике: неравенство с развёрнутым ответом, 2 балла. Разберём на реальном примере — по шагам и с разбором ловушек.

Решение по шагам

1. Разложим знаменатель на множители. Корни уравнения $x^2-7x-8=0$ по теореме Виета: $x_1=-1$ и $x_2=8$. Значит $x^2-7x-8=(x+1)(x-8)$.

2. Уберём минус. Умножаем обе части на $-1$ — знак неравенства меняется на противоположный:

   $$\frac{12}{(x+1)(x-8)}\ge 0$$

3. Смотрим на числитель. Число 12 положительно, поэтому знак всей дроби зависит только от знаменателя. Дробь неотрицательна, когда знаменатель положителен: $(x+1)(x-8)>0$ (нулю он быть не может — на ноль не делят).

4. Метод интервалов. Отмечаем на числовой прямой выколотые точки $x=-1$ и $x=8$. Произведение двух скобок положительно на крайних промежутках: $x<-1$ или $x>8$.

Ловушка — где теряют баллы

Точки $x=-1$ и $x=8$ выколотые: в них знаменатель равен нулю и дробь не существует. Возьмёшь их в ответ — потеряешь балл. Вторая частая ошибка — забыть, что минус перед дробью переворачивает знак неравенства.

Ответ

Проверь себя

Подставь число из ответа, например $x=10$: знаменатель $(11)\cdot (2)=22>0$, дробь $-\frac{12}{22}<0$ — условие $\le 0$ выполнено. ✓