Условие задачи
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Решение
Кажется, что данных мало: по периметру и площади основания не найти. Недостающее уравнение даёт фраза «можно вписать окружность». Найдём все стороны и высоту, а затем положение точки пересечения диагоналей.
Пусть a и b — большее и меньшее основания, c — боковая сторона, h — высота.
1. Боковая сторона. В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны. Для равнобедренной трапеции это a+b=2c. Тогда
P=(a+b)+2c=2(a+b)=200 a+b=100,\quad c=502. Высота — из формулы площади:
S=\frac{a+b}2\cdot h=50h=2000,\quad h=403. Основания. Опустим высоту из конца меньшего основания. Получится прямоугольный треугольник с гипотенузой 50 и катетом 40. Второй катет равен \sqrt{50^2-40^2}=30 — это половина разности оснований:
a-b=60,\quad a+b=100 a=80,\quad b=204. Точка пересечения диагоналей. Треугольники BOC и DOA подобны: BC ∥ AD, поэтому их углы при основаниях равны как накрест лежащие. Коэффициент подобия \frac{b}{a}=\frac{20}{80}=\frac14.
Пусть d — расстояние от O до BC. Тогда до AD остаётся 40-d: вместе эти высоты составляют высоту трапеции. Высоты подобных треугольников относятся с тем же коэффициентом:
\frac{d}{40-d}=\frac14\;\Rightarrow\;4d=40-d\;\Rightarrow\;d=8Ответ
8Точка пересечения диагоналей находится на расстоянии 8 от меньшего основания.
Выводы
- Фраза «можно вписать окружность» — это уравнение: суммы противоположных сторон равны.
- Точка пересечения диагоналей делит высоту трапеции в отношении оснований: ближе к меньшему основанию.
